Построение полиномиальных сглаживателей методом наименьших квадратов

Конструкция линейной регрессии

Сглаживатель методом наименьших квадратов строится как подгонка линейной регрессии. Подгонка выбирает коэффициенты так, чтобы квадраты вертикальных отклонений между наблюдаемыми ценами и подогнанными значениями были минимизированы. Вся ошибка относится к оси цены и ничего — к оси времени.

Порядок полинома — это степень этой локальной подогнанной кривой. Конструкция требует равномерной дискретизации и ряда, достаточно непрерывного, чтобы его можно было рассматривать как гладкую кривую.

Базовые линии скользящей средней и экспоненциального сглаживания

Поставьте эту конструкцию рядом с двумя базовыми линиями, которые используют те же упорядоченные наблюдения. Скользящая средняя усредняет блок этих наблюдений. Когда этот блок длинный, он обычно сглаживает острые пики и впадины, и относительно конструкции методом наименьших квадратов длинная скользящая средняя снижает экстремальные пики и впадины.

Экспоненциальное сглаживание применяет убывающие асимметричные веса. Относительно симметричной подгонки методом наименьших квадратов экспоненциальное сглаживание и другие схемы асимметричных весов вносят некоторое искажение формы и смещают форму точек разворота.

Окно с целочисленными весами

Подогнанную среднюю точку можно получить, умножив окно наблюдений на фиксированный набор целочисленных весов и разделив на опубликованный нормирующий коэффициент. Это окно с целочисленными весами — компактная реализация полиномиальной подгонки.

Табличные наборы покрывают полиномы второго–пятого порядка и окна от 5 до 25 наблюдений. Наборы второго и третьего порядка образуют одно табличное семейство, а наборы четвёртого и пятого порядка — другое.

Пятиточечный набор весов второго и третьего порядка симметричен относительно своей средней точки и разворачивается из свёрнутой таблицы как -3, 12, 17, 12 и -3.

Пятиточечные и 25-точечные окна на недельных доходностях

На недельных доходностях среднесрочных облигаций с 6 March 1987 по 12 January 1990 пятиточечный сглаживатель второго и третьего порядка удерживал основные максимумы и минимумы почти в фазе с исходным рядом, включая пик на неделе 34, связанный с рыночной реакцией 19 October 1987.

Соответствующий 25-точечный сглаживатель второго и третьего порядка задерживал высокие острые пики и впадины примерно на две-три недели. Это более позднее появление тех же разворотов и есть фазовая задержка. Более длинное окно также растянуло пик недели 34 в сторону более поздних наблюдений и оставило неглубокие развороты около недель 66 и 110 без этой задержки.

Что убрал остаточный ряд

Остаточный ряд — это поточечная разность между исходными наблюдениями и сглаженным рядом. Он показывает, сколько вариации было убрано и осталась ли оставшаяся структура.

Пятиточечный остаток убрал около плюс-минус 0.1 процента доходности на всплеске недели 34, ограничил этот выброс примерно четырьмя неделями и в остальном оставил фоновые колебания около плюс-минус 0.03 процента доходности плюс примерно регулярный скачок плюс-минус 0.05 процента каждые 17 to 25 недель.

25-точечный остаток убрал около плюс-минус 0.3 процента доходности на том же всплеске, поднял амплитуду фонового остатка примерно до плюс-минус 0.1 процента доходности, растянул этот пиковый остаток к неделе 50 и показал более крупное оставшееся колебание с шагом около 30 недель.

Подбор длины окна по оставшейся структуре

Длина окна — это конструкционный выбор, который должен следовать за проверкой оставшейся структуры остатка. После этой проверки сглаживатель может стоять перед последующим анализом как способ решить, сколько вариации и какого вида убирать.