Построение спектров максимальной энтропии для прогнозов по доминирующему циклу

Две задачи в одном построении

Метод построен так, чтобы одновременно решать две задачи: оценивать спектр данных и формировать адаптивные краткосрочные прогнозы, которые остаются согласованными с доминирующими циклами, найденными как спектральные пики.

Спектр максимальной энтропии — это спектр, построенный по коэффициентам линейного предсказания, выбранным так, чтобы минимизировать ошибку прогноза и при этом добавлять к наблюдаемому ряду как можно меньше дополнительной структуры. Доминирующий цикл — это самые сильные низкочастотные спектральные пики, сохранённые как сигнал, которому последующие прогнозы и длины фильтров обязаны следовать.

Линейный предиктор как общий механизм

Построение предполагает, что текущее наблюдение равно линейной комбинации M прошлых значений плюс остаток. Коэффициенты выбираются так, чтобы минимизировать квадрат ошибки предсказания и, в обычных алгоритмах, сумму прямых и обратных остатков.

После оценки коэффициентов спектр вычисляется по этим коэффициентам. Многошаговые прогнозы формируются рекурсивно: более ранние предсказания подаются обратно в тот же линейный предиктор.

Каналы тренда вокруг точечного прогноза

Канал тренда — это верхняя и нижняя полосы вокруг рекурсивного точечного прогноза. Полосы строятся прибавлением и вычитанием удвоенного квадратного корня из дисперсии ошибки n-шагового прогноза вокруг точечного прогноза; это описывается как 95-процентный интервал. Предобработка, которой приглушают торговый шум, добавляет ещё один член дисперсии.

Порядок модели как главный проектный выбор

Порядок модели — это число лаговых коэффициентов в предикторе. Число спектральных пиков составляет примерно половину числа коэффициентов, поэтому выбор управляет и разрешением, и риском ложных пиков.

Слишком малый порядок пропускает циклы. Слишком большой порядок может добавить пики, которых нет в наблюдениях.

Оценка кандидатных порядков

Порядки от 1 до меньшего из половины длины выборки или 25 оцениваются по ошибке конечного предсказания. Это правило пересчитывает среднеквадратическую одношаговую ошибку с учётом длины выборки и числа коэффициентов, чтобы конструктор мог сравнивать кандидатные модели, используя FPE(M)=(N+M)*P(M)/(N-M).

Теория выбирает минимум ошибки конечного предсказания. На практике можно оставить локальный минимум, который сохраняет задуманный спектр сигнала.

Какие пики прогнозу позволено унаследовать

Для прогнозирования сигналом считаются только самые низкочастотные пики вблизи доминирующего цикла. Это пики в пределах 15 дБ, а самый низкочастотный пик трактуется как преобладающий тренд. Остальные пики трактуются как помехи.

Анализ Фурье как конструктивная проверка

Анализ Фурье рассматривается как обязательный инструмент сравнения, потому что спектр максимальной энтропии описывается как более гибкий в адаптации и отображении, но при этом всё равно сверяется с положениями пиков Фурье на том же ряду.

Анализ Фурье — классическая оценка спектра, используемая как конструктивная проверка того, согласуются ли пики максимальной энтропии по частоте и, более свободно, по относительной силе с независимым преобразованием того же ряда.

Снижение порядка и усреднение отсчётов

На 57-недельном ряде локальные минимумы ошибки конечного предсказания появились при порядках 6 и 16. Спектр порядка 16 разрешил два значимых низкочастотных пика плюс шумовые пики выше 7 циклов в год, и эти частоты в целом совпали со спектром Фурье тех же данных.

Двухточечное усреднение сократило ряд до 28 наблюдений с минимумами ошибки конечного предсказания при порядках 2 и 8. Усреднённый спектр порядка 8 сохранил форму доминирующего цикла при меньшем числе шумовых пиков и был выбран для прогнозирования, по-прежнему охватывая 16 недель лагов.