Построение спектров FFT для выбора длины циклических фильтров

Синусоиды, мощность и фаза

Анализ Фурье представляет конечный наблюдаемый ряд как сумму синусоид, длины циклов которых являются долями одной общей фундаментальной длины. Одна синусоида задаётся амплитудой, частотой и фазой. При годе из 260 сессий частота 10 циклов в год соответствует периоду в 26 сессий.

Спектральный анализ — сжатый взгляд на это разложение. Спектр Фурье откладывает мощность, квадрат амплитуды, против частоты и потому опускает фазу. Быстрое преобразование Фурье — алгоритм, который считает разложение на синусоиды достаточно быстро для интерактивной работы с рядами умеренной длины.

Соблюдайте предел дневной дискретизации

Для однодневных наблюдений частоты выше 130 циклов в год нельзя отделить от более низких алиасов, поэтому рабочий спектр идёт только от 0 до этой частоты сворачивания. Частота сворачивания — наивысшая различимая частота в дискретизированном ряде. Для дневных закрытий это цикл из двух сессий.

Дневной ряд можно разбить на спектральные полосы, которыми группируют долгосрочную, промежуточную и короткосессионную вариацию до выбора фильтра. Низкочастотная составляющая идёт от 0 до 4 циклов в год, периоды длиннее 60 сессий. Промежуточная составляющая идёт от 4 до 40 циклов в год, периоды от 6 до 60 сессий. Высокочастотная составляющая идёт от 40 до 130 циклов в год, периоды короче 6 сессий.

Исправьте концы ряда до преобразования

Построенный спектр вычитает линейный тренд, умножает на колоколообразное окно, которое обнуляется на концах, дополняет дополнительными нулями, применяет быстрое преобразование Фурье, затем формирует нормированный спектр мощности. Детрендинг — это вычитание подогнанной прямой, чтобы расхождение уровней на концах выборки не доминировало в преобразовании. Колоколообразное окно — это сужение, которое приводит ряд к нулю на обоих концах, уменьшая ложный разрыв, создаваемый периодическим продолжением, и сглаживая спектр.

Рекомендуются интервалы не менее 64 дневных точек, а описанное преобразование рассчитано на ряды до 512 точек.

Переведите расстояние между пиками в длину скользящей средней

Дельта частоты — это шаг между соседними спектральными линиями, равный принятому числу сессий в году, делённому на длину расширенного массива. Этот шаг равен 260, делённым на расширенную длину N. Пик в 16 линиях от нуля при N, равном 256, поэтому лежит на 16.25 циклах в год, или на цикле в 16 сессий.

Скользящая средняя длиной M сессий строится так, чтобы ослаблять синусоиды короче M сессий, частоты выше 260, делённого на M, оставляя циклы длиннее 1.5 раз M в основном нетронутыми. Сравнение исходного спектра и спектра после усреднения проверяет это подавление. Длина скользящей средней — целое число сессий, выбранное так, чтобы синусоиды короче этого числа ослаблялись, а более длинные циклы сохранялись.

Историческая проверка построения

На 110-сессионном ряде закрытий соевого масла построенный спектр показал промежуточные пики около 16 и 32 циклов в год, примерно периоды в 16 и 8 сессий. Средняя длиной 8 сессий затем оставила только первые два пика.