Почему окна Фурье ограничивают разрешение доминантного цикла

Лаборатория проектирования окон

Это редакционное чтение рассматривает циклические инструменты как лабораторию проектирования окон. Первая задача — показать, что гармоники Фурье лежат только на целочисленных делениях длины выборки, а затем сопоставить эту жёсткую сетку со спектром максимальной энтропии по короткому окну, который может назвать доминантный цикл примерно по одному периоду данных.

Ценовую траекторию можно записать как константу плюс синусные и косинусные члены многих периодов, чтобы каждую циклическую компоненту можно было восстановить из составного ряда. Доминантный цикл — это периодическая компонента с наибольшей амплитудой, восстановленная из упорядоченной ценовой выборки и используемая как опорный период для последующей работы с циклами. Окно наблюдения — это непрерывный отрезок упорядоченных цен, подаваемый в оценку спектра. Его длина задаёт шаг гармоник Фурье и может также смещать амплитуды максимальной энтропии и ложные пики.

Гармоники Фурье лежат только на целочисленных делениях

Анализ Фурье — это разложение на синусы и косинусы, которое выделяет каждую гармонику интегрированием по целому числу циклов данного периода, а затем сообщает мощность по квадратам коэффициентов. Поскольку семейства синусов и косинусов ортонормированы на полном периоде, умножение ряда на выбранный косинус и интегрирование выделяет этот коэффициент, а несовпадающие члены интегрируются в ноль. Такое ортонормированное выделение оставляет только коэффициент совпадающей гармоники.

Анализ Фурье должен интегрировать по целому числу циклов, поэтому окно из 64 наблюдений может разрешить только набор гармоник 64, 32, 21.3, 16, 12.8 и 10.7 дней, без оценки амплитуды для периодов между 16 и 21.3 днями, пока выборку не удлинят.

Удлинение окна может погасить короткий цикл

Удлинение окна Фурье ради повышения разрешения может позволить более короткому циклу сменить фазу по выборке и погаситься в оценке амплитуды, даже если этот цикл велик в самых свежих данных. Анализ Фурье считает выбранную выборку повторяющейся до бесконечности. Укорочение или растяжение этой выборки, чтобы навязать целое число циклов, меняет наблюдения и может исказить рассчитанный спектр.

Интегрирование Фурье отбрасывает относительную фазу и сообщает мощность компоненты по сумме квадратов синусных и косинусных коэффициентов.

Короткое окно максимальной энтропии может назвать период

Спектральный анализ максимальной энтропии — это итеративная оценка спектра, которая снимает циклическую структуру с наблюдаемой выборки, пока остаток не считается максимально неинформативным, без предположения, что выборка повторяется за пределами окна. Он не предполагает, что наблюдения существуют вне выбранного окна.

Сравнение утверждает, что примерно одного цикла наблюдений может хватить для выделения максимальной энтропии с высоким разрешением, указывая четыре недели данных как достаточные, чтобы отделить 17-дневный цикл. Анализ максимальной энтропии описывается как сохраняющий фазу, так что измеренные циклы можно продлить как составную траекторию.

Оценивайте погашенную амплитуду, неверно масштабированные гармоники и ложные пики

На синтетической пиле, собранной из 30-дневной, половинной по амплитуде 15-дневной и одной третьей по амплитуде 10-дневной компонент, прогон максимальной энтропии на 35 наблюдениях пометил доминантный период как 28 дней, ошибка периода 6.7 процента, точно восстановил 15- и 10-дневные периоды, совпал с амплитудой 15-дневной компоненты на -6 dB и не попал в ожидаемый уровень -10 dB для амплитуды 10-дневной компоненты.

Спектры максимальной энтропии могут искажать относительные амплитуды циклов и вводить ложные компоненты, когда окно анализа слишком длинное. Редакционно оба метода следует оценивать на погашенную амплитуду короткого цикла, неверно масштабированные гармоники и ложные пики, прежде чем кто-либо использует восстановленный ритм как вход прогноза.