Критика досрочного исполнения в модели Black-Scholes для опционов на фьючерсы

Аудит, а не более красивый прогноз

Архив дважды восстанавливает премию опциона на фьючерс: один раз закрытой формой модели Black-Scholes Model и один раз обратным ходом по биномиальному дереву, которое использует те же входы по цене, времени, ставке и волатильности.

Редакторская интерпретация: рассматривайте эту пару как анализ премии опциона, использованный как аудит допущений. Анализ подразумеваемой волатильности входит только как общий вход волатильности, который оба расчёта должны держать фиксированным. Вопрос в том, делают ли права досрочного исполнения и финансирование фьючерсов европейскую закрытую форму дешёвой на глубоко «в деньгах» опционах, а не в том, является ли дерево лучшим прогнозом.

Одношаговая решётка и её дельта

Одношаговая решётка, которая переводит базовый актив с 100 на 105 или 95 с равной вероятностью, оценивает колл «при деньгах» в 2.5 процента от номинала, потому что две выплаты на экспирации равны 5 и 0.

В этом одношаговом примере дельта равна 0.50. Разрыв в 10 пунктов между 105 и 95 в базовом активе соответствует разрыву в 5 пунктов в терминальных значениях колла, поэтому движение базового актива на 5 пунктов меняет премию на 2.5.

Пятиточечное дерево и временной распад

Обратный ход по многопериодному пятиточечному дереву оценивает тот же колл в 3.75 процента от номинала до финансирования. Дисконтирование по короткой ставке 8 процентов за 0.50 года снижает премию до 3.60.

При удержании базового актива на 100 премия дерева падает с 3.75 до 2.5 за два периода и затем до нуля на экспирации — более быстрый сход временной стоимости, чем на траекториях, удержанных на 105 или 95.

Когда дискретное дерево встречается с закрытой формой

Когда число биномиальных интервалов велико, около 25 до 30 или больше, дискретное дерево описывается как приближающееся к тем же результатам, что и формула Black-Scholes для опционов на фьючерсы.

Чтение опциона на фьючерс в закрытой форме

При фьючерсе 61, страйке 60, 91 дне до экспирации, 16 процентах годовой волатильности и короткой ставке 8 процентов формулы опциона на фьючерс в закрытой форме дают колл 2.42, дельту колла 0.5868, пут с тем же страйком 1.44 и дельту пута -0.3933.

Редакторская интерпретация: эти четыре показания — таблица анализа премии опциона, которую дерево должно оспорить, используя ту же величину волатильности, которую зафиксировал бы анализ подразумеваемой волатильности.

Досрочное исполнение и финансирование фьючерсов

Покупатели опционов платят наличными, тогда как фьючерсы можно маржировать обеспечением, приносящим проценты, поэтому глубоко «в деньгах» американский опцион на фьючерс может стоить больше при исполнении, чем при удержании, когда временная стоимость почти исчезла, а дельта близка к 1.0.

Black-Scholes не может представить досрочное исполнение, тогда как биномиальное дерево может остановиться в узле исполнения. Поэтому на американских опционах на фьючерсы закрытая форма может занижать цену контрактов «в деньгах» на тик или два относительно дерева.

Где разрыв сужается и чего стоит скорость

Разрывы между двумя премиями сужаются по мере приближения экспирации или когда опционы уходят «из денег». Оставшиеся различия по опционам «из денег» относят в основном к округлению, а не к разной экономике.

Дерево, учитывающее досрочное исполнение, медленнее на настольном оборудовании того периода — до примерно одной-двух секунд при многих интервалах, тогда как закрытая форма остаётся более быстрым способом заполнять большие таблицы премий.