Сглаживающие фильтры, частота среза, полюсы и задержка в отсчётах

Что сохраняет сглаживающий фильтр

Сглаживающий фильтр строится так, чтобы сохранять низкочастотные изменения в упорядоченном ценовом ряду и снижать высокочастотный джиттер. Экспоненциальный сглаживатель делает это, ослабляя быстрые изменения и удерживая более медленные.

Экспоненциальное обновление с одним состоянием

Экспоненциальный сглаживатель рекурсивен. Текущий выход равен доле текущего наблюдения плюс единица минус эта доля, умноженная на предыдущий выход, поэтому нужно хранить только последний выход.

С оператором единичной задержки передаточная характеристика экспоненциального сглаживателя равна единице при нулевой задержке, поэтому постоянный вход проходит без изменений. Та же характеристика имеет полюс там, где знаменатель равен нулю.

Полюсы, частота среза и передаточная характеристика

Дополнительные полюсы делают затухание круче в сторону среза, близкого к brick-wall. Двухполюсная передаточная характеристика — отношение второго порядка, в знаменателе которого два корня. Последовательное увеличение числа полюсов приближает к этому острому срезу, когда кривые выровнены по амплитуде половинной мощности 0.707.

Частота — величина, обратная периоду цикла, поэтому 10-дневный цикл составляет 0.1 цикла в день. 10-дневная однополюсная конструкция примерно соответствует 2.1-дневному экспоненциальному сглаживателю, а 20-дневная однополюсная конструкция — 4.2-дневному экспоненциальному сглаживателю.

Задержка от дополнительных полюсов

Каждый добавленный полюс добавляет один отсчёт задержки. У пятиполюсной конструкции пять каскадов задержки. Низкочастотная задержка Butterworth около N, умноженного на период среза и делённого на pi squared, составляет почти пять дней для пятиполюсного фильтра с 10-дневным срезом, а вблизи среза задержка почти удваивается.

Характеристика типа Bessel сокращает эту задержку примерно вдвое. Трёхполюсная конструкция Bessel с 20-дневным срезом даёт задержку около трёх дней, тогда как 7-дневный экспоненциальный сглаживатель задерживает чуть больше чем на один день и имеет сходную амплитудную кривую.

20-дневный трёхполюсный выход Butterworth более гладкий, чем 7.44-дневный экспоненциальный сглаживатель, но с существенно большим лагом, поэтому дополнительная сложность конструкции признана неоправданной для обычного сглаживания.

Почему простого окна достаточно

Простое скользящее среднее с конечным окном — это фильтр с конечной импульсной характеристикой: выход зависит от конечного окна прошлых наблюдений и не имеет обратной связи по сохранённому выходу. Это скользящее среднее и рекурсивный экспоненциальный сглаживатель по построению имеют сходные амплитудные характеристики. Экспоненциальная форма обычно запаздывает чуть меньше, потому что более старые наблюдения получают меньший вес, а не включаются наравне.

Скользящее среднее считается достаточным сглаживанием, потому что его проще всего реализовать и оно даёт наименьшую задержку фильтра, оставляя выбор между простой и экспоненциальной формой за конструктором. Несколько фильтров с одной частотой среза, но разным числом полюсов, расходились бы во времени и их разность могла бы дать опережение — ценой дополнительной сложности конструкции.