Построение базовой модели случайного блуждания из упорядоченных доходностей

Почему базовую модель записывают сначала

Тест гипотезы случайного блуждания сравнивает явную количественную базовую модель с результатом вне выборки. Сравнение использует упорядоченные наблюдения цены, объёма или широты рынка на заданном интервале дискретизации и lookback. Первая задача построения — сформулировать эту базовую модель в терминах упорядоченных доходностей.

Гауссово блуждание с положительными ценами

Базовую модель случайного блуждания для цен активов можно построить так, чтобы допускались только положительные цены, моделируя логарифмические доходности как нормально распределённые. Эта модель — геометрическое броуновское движение, и именно она является классической базовой моделью случайного блуждания, реконструируемой здесь. Построение полностью задаёт гауссово распределение доходностей с двумя параметрами: средним положения и дисперсией, задающей ширину колоколообразной кривой.

Уровень цены против логарифмических доходностей

Арифметическое броуновское построение самого уровня цены может давать отрицательные цены, потому что движущий процесс не ограничен снизу. Поэтому в архивном рабочем процессе случайное блуждание задаётся по логарифмическим доходностям, а не по исходному ценовому ряду.

Восстановление показателя Хёрста

Показатель Хёрста восстанавливают, откладывая логарифм нормированного размаха против логарифма длины выборки и считывая наклон этой прямой. Нормированный размах — это размах кумулятивного ряда отклонений от среднего, делённый на стандартное отклонение ряда. Для финансовых рядов на вход нормированного размаха подают логарифмическую доходность последовательных цен, а не исходный уровень цены. Полученный показатель масштабирования помещает ряд между режимами возврата к среднему, случайного блуждания и персистентности.

Фильтр, построенный по этому наклону

Индекс фрактальной размерности, построенный по показателю Хёрста, представлен как конструкция, которую можно применять как фильтр к тренд-чувствительным системам. Это оверлей трендового состояния, выведенный из показателя Хёрста, а не переформулировка базовой модели случайного блуждания.